NÚMEROS COMPLEJOS Y MATRICES. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

NÚMEROS COMPLEJOS Y MATRICES

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como C, siendo R el conjunto de los reales se cumple que R pertenece a C. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (representado como i).

Consideremos un nuevo conjunto denotado   donde la unidad imaginaria es , para el número complejo a + bi ,al número a se le conoce como la parte real y al número b se le denomina la parte imaginaria.

Si la parte imaginaria es nula, entonces el número es real. Por tanto, los números reales están contenidos en los números complejos.

Se llaman números imaginarios puros a los que tienen parte real igual a cero, los matemáticos en el siglo XVIII crearon el conjunto de los números complejos queriendo solucionar la ecuación cuadrática  donde i =  que son las raíces de la ecuación anterior.

Operaciones con los números complejos: Es usual denotar Z = a + bi como un número complejo con a y b reales, este complejo Z se representa geométricamente en el plano de Argan o plano Z donde el eje Y tiene una componente imaginaria. Para operar dos números complejos se suman su parte real y su parte imaginaria es decir, donde Re (z) = a es la parte real de un número complejo, I m(z) = b es la parte imaginaria de un número complejo.

Definición: i. Suma: Sea Z1 = a + bi, Z2 = c + di, a,b,c,d en  entonces

Z1 + Z2 = (a + bi) + (c + di) = ( a + c ) + (b + d)i,  

donde a + c es la parte real de la suma de Z1 y Z2, y (b + d)i  es la suma de la parte imaginaria de Z1 y Z2. La suma en los números complejos forman un grupo abeliano.

ii. Multiplicación: Sea Z1 = a + bi, Z2 = c + di, a,b,c,d en  entonces 

Z1 x Z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i 

donde ac - bd es la parte real de la multiplicación de Z1 y Z2, y (ad + bc)  es la parte imaginaria de la multiplicación de Z1 y Z2, la multiplicación de los números complejos con la suma forman una estructura matemática llamada campo o cuerpo.

Resumen del módulo:

Números complejos y matrices

Francisco Javier Cervigon Ruckauer