GENERALIDADES RACIONALES E IRRACIONALES. Números racionales e irracionales. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

GENERALIDADES RACIONALES E IRRACIONALES

Números racionales e irracionales

Conjunto de Números racionales:

Es el conjunto que se puede expresar, como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales pues se pueden expresar como cocientes de ellos mismo por la unidad a=a/1.  Este conjunto numérico se denota con   = { a/b, con a y b enteros, b  0 } son los fraccionarios y los decimales finitos e infinitos periódicos. Al igual que los demás conjuntos numéricos, este conjunto está dotado de una operación binaria.

Definición: Por operación binaria en un conjunto F se entiende una función B de números reales con domino F x F y codominio en F, a cada par ordenado (a, b) de elementos de F se tiene un único elementoB (a, b) sin embargo en vez de usar esta anotación es común utilizar a + b, a - b, a x b, etc.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. Al expresar un número racional no entero en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódica. El conjunto de números decimales se denomina por la letra "D".

Este subconjunto de números reales lo vamos a dotar de dos operaciones que se denominarán adición y multiplicación respectivamente y satisfacen las propiedades de grupo, grupo abeliano, anillo, campo y o cuerpo.

Definición 2. i. Suma: Sean a, b elementos de , donde a = c/d, y b = e/f con c, d. e, f números enteros.

 

Donde cf esta denotando c x f, considera como la multiplicación usual de números enteros.

ii. Multiplicación: Sean a,b elementos de , donde a = c/d, y b = e/f con c, d. e, f números enteros.

Donde cf esta denotando c x f, considera como la multiplicación usual de números enteros.

Número Irracionales:

Son aquellos que se escriben mediante una expresión decimal con infinitas cifras y no periódicas. Dicho conjunto lo denotamos por . Los irracionales  = { 3,1415..., , , decimales infinitos no periódicos, etc. } no se pueden expresar como fracción.

Los primeros matemáticos en la historia que utilizaron el concepto de número irracional fue en la antigua Grecia introduciendo estudios de geometría. No utilizaron construcciones matemáticas como tal para construir un numero real a partir de un número racional o irracional. Fue hasta el siglo XIX que los matemáticos  Weierstrass, Cantor, Dedekid que aplicaron los axiomas de Peano de los números positivos para construir los números reales. Dedikid principalmente construyó los números irracionales que se encuentra publicado en el texto de Fundamentos del análisis por E. Landau en 1951 en New York.

Resumen del módulo:

Números racionales e irracionales

Francisco Javier Cervigon Ruckauer