Certifcado del curso Matemáticas esenciales en los números reales y complejos Francisco Javier Cervigon Ruckauer

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Módulos del curso Matemáticas esenciales en los números reales y complejos Francisco Javier Cervigon Ruckauer

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Archivo del curso de Matemáticas esenciales Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Archivo del curso de Matemáticas esenciales

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Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Índice del curso de Matemáticas Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Índice del curso

Introducción
Guía para el desarrollo del curso
Requerimientos técnicos
Prueba de diagnóstico
Resumen

Generalidades de los Números Reales
Naturales y enteros
Operaciones con enteros-reales
Video explicativo de operaciones con números reales
Propiedades algebraicas de R
Quiz 1
Resumen

Generalidades Racionales e Irracionales
Números Racionales
Video explicativo de las operaciones con números racionales
Números Irracionales
Video explicativo de las operaciones con números irracionales
Radicales
Quiz 2
Primer examen
Resumen

Números complejos y matrices
Complejos
Operaciones con números complejos
Video explicativo de operaciones con números complejos
Matrices
Operaciones con matrices
Video explicativo de operaciones con matrices
Quiz 3
Resumen

Potenciación, radicación y logaritmos en R
Propiedades de la potenciación
Propiedades de la Radicación
Video explicativo de potenciación y radicación en R
Racionalización
Logaritmación
Quiz 4
Segundo examen
Resumen

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Descripción del curso básico de Matemáticas. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Descripción del curso

Este es un curso básico de matemáticas con énfasis en las operaciones de números reales y complejos. Esta dirigido a estudiantes de secundaria (bachillerato) de los tres últimos grados y a estudiantes universitarios de primer año. A los primeros les permitirá estudiar los contenidos básicos de los números reales y complejos y a los segundos repasar y profundizar en la aplicación de los conocimientos adquiridos en bachillerato, también a estos últimos les ayudará a superar los cursos universitarios de Fundamento de matemática que son los de mayor mortalidad en primer año de Universidad.

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Introducción. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Introducción

El curso está segmentado en cinco módulos. El primer módulo tiene como objetivo familiarizarse con la plataforma, la forma como se muestran los contenidos y el desarrollo de las actividades. Los cuatro módulos siguientes cuentan con los contenidos y recursos multimediales que le permitirán aprender las bases de las matemáticas para la vida Universitaria y profesional. El curso provee de herramientas que serán de utilidad para modelar problemas básicos de las matemáticas, así pues, la filosofía de este curso consiste en cubrir temas conceptuales y desarrollar la capacidad de aprender y aplicarlos en la vida profesional.

Durante cada módulo el participante tendrá los recursos necesarios para que practique y ejercite las matemáticas de manera agradable e interactiva.

Tenga en cuenta que para el correcto desarrollo, debe cumplir con unos requerimientos técnicos mínimos dado el carácter práctico de los temas tratados y las herramientas utilizadas para reforzar los conceptos abordados. En la siguiente actividad, encontrará el material necesario para cumplir con dichos requerimientos técnicos.

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Guía para el desarrollo del curso. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Guía para el desarrollo del curso

El curso está diseñado para desarrollarse en nueve semanas, de la siguiente manera:

- En la primera semana se desarrollará el módulo introductorio, en el cual encontrará los recursos y la información necesaria para aprender a desarrollar las actividades propuestas durante el curso.

- A continuación, se encuentran los módulos correspondientes a los contenidos teóricos relacionados con el propósito del curso: Matemáticas esenciales en los números reales y complejos.

- Cada módulo tiene una duración de dos (2) semanas.

- En cada uno de los módulos, debe realizar una evaluación que le permitirá comprobar la apropiación de los conocimientos.

Contenido de los módulos

- Video introductorio

- Contenido teórico

- Video con ejemplo

- Actividades de refuerzo

- Evaluación

Observaciones

- Cada uno de los módulos se abre de acuerdo a la programación del curso. Sin embargo, en la medida que se van mostrando todos los recursos, actividades y evaluaciones estarán disponibles hasta el final del curso.

- Dentro de cada uno de los temas, encontrará un enlace para descargar los respectivos recursos.

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Requerimientos técnicos. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Requerimientos técnicos

Para visualizar correctamente los contenidos propuestos en este curso, es necesaria la instalación de los siguientes programas.
1. Adobe Reader
2. Adobe Flash Player
3. Descartes
Para ejecutar el Plug-in Descartes debe contar con la versión Java 7 Update 11.
Instale el Plug-in de matemáticas Descartes.

Clic aquí para acceder al manual de instalación del Plug-in de matemáticas Descartes

o aquí.

Al momento de abrir alguno de los contenidos que utilizan el Plug-in Descartes, debe realizar los siguientes pasos:

Clic para acceder a los pasos de ejecución de contenido Descartes.

Para mayor información respecto a la instalación, uso y desarrollo del Plug-in de matemáticas Descartes, diríjase a la siguiente dirección:

Sitio oficial del Plug-in de matemáticas Descartes.

Importante: La instalación de estos programas se hace bajo la responsabilidad de cada participante.

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GENERALIDADES DE LOS NÚMEROS REALES. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

GENERALIDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales, se denota con la letra

. Para cada número en la recta numérica se representa biunivocamente con un número en el conjunto de los números reales, es decir a cada punto de la recta le corresponde un único número real y viceversa.

El conjunto de los números reales está conformado por:

1. Los números naturales, o también conocidos como los números positivos, sus elementos son

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ...}.

Históricamente a existido la discusión epistemológica de considerar o no considerar al cero como un numero natural, para este caso si se quisiera considerar al cero como un natural se tendría un nuevo conjunto numérico llamado No, pero para nuestro curso el cero será considerado un numero entero.

2. Los números enteros

,que está formado por los números positivos, los números negativos y el cero (0).

= {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

3.El conjunto de los números racionales

, a este conjunto lo conforman los números fraccionarios y los decimales finitos.

= { a/b, con a y b enteros, b

0 }.

4.El conjunto de los números irracionales que son los decimales finitos e infinitos periódicos, es usual representar a este conjunto numérico con la letra

= { 3,1415...,

, }

* La unión de los conjuntos anteriores es el conjunto de los números reales

., como lo vemos en la siguiente grafica.

La letra C al final de la gráfica representa el conjunto de los números complejos, que se estudiará más adelante.

Resumen del módulo:
Los Números Reales
Generalidades de los Números Reales

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Naturales y enteros. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Naturales y enteros

Naturales:

El conjunto de los números NATURALES es un conjunto numérico formado por

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 ... ... ...}. Estos números nos sirven para contar y para ordenar. Este conjunto cumple con propiedades de SEMIGRUPO con la operación suma, es decir cumple con la propiedades asociativa. Se puede demostrar y dar un ejemplo por que los números Naturales con la suma no cumplen la estructura algebraica de grupo, y de grupo abeliano, en donde se pretende demostrar que los números naturales no cumplen con la propiedad modulativas ni con la propiedad invertiva.

Los números naturales expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas, los números naturales van de uno en uno y no admiten la partición de las unidades, y solamente expresan valores positivos, se representan en la recta numérica como lo veremos a continuación, esta representación es posible porque existe una correspondencia biunivoca entre la recta real y los números naturales, es decir a cada elemento del conjunto numérico se le asocia un único punto en la recta real.

Representación en la recta numérica;

En ciertas ocasiones necesitamos expresar valores que están antes o por debajo del valor que consideramos punto de partida o valor cero. Ha sido necesario ampliar el conjunto de los números incluyendo también los negativos, para ello añadimos al número natural un signo + o - . De esta manera han surgido los números enteros, que expresan valores que van de uno en uno hacia la parte positiva o hacia la parte negativa.

El siguiente conjunto se le conoce como el conjunto de los números enteros, sobre este conjunto y la recta real existe una correspondencia biunivoca es decir, a cada número entero le corresponde un punto sobre la recta real.

= {... ... ... -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ... ... ...}

Ejercicio: Representación gráfica de un número entero. Ordene en la recta numérica los siguientes números enteros, una vez termine y este bien el ejercicio usted verá la palabra CORRECTO.

Ejercicios complementarios: Estrella matemática
La suma de los tres números que hay en cada segmento es =0 Para completarla coloque los números en los segmentos en donde hagan falta una vez termine y este bien el ejercicio, usted verá la palabra CORRECTO. Este ejercicio le permite realizar operaciones con los signos y afianzar el conocimiento.

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/enteros1/e7acz.htm

Ejemplo de solución

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Operaciones con enteros-reales Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Operaciones con enteros-reales

Los números enteros

están formados por los positivos, los negativos y el cero (0). Forman una estructura algebraica con la suma denominada grupo abeliano (cumple las propiedades de asociativa, modulativa, invertiva, conmutativa). Los naturales y los enteros se consideran subconjuntos de los números reales. En este módulo se estudiaran las operaciones de suma y multiplicación.

Definición: El conjunto de los números enteros con la suma cumplen la estructura de grupo abeliano. Es decir cumple las siguientes propiedades:

(A1) Conmutativa: a + b = b + a para toda a, b en

(A2) Asociativa: (a + b ) + c = a + (b + c) para toda a, b, c en

(A3) Modulativa: Existe un elemento 0 en

tal que 0 + a = a y a + 0 = a para toda a en

(A4) Invertiva: Para cada a en

existe un elemento - a en

tal que a + (- a) = 0 y (- a) + a = 0

Para operar dos números enteros tendremos en cuenta la siguientes reglas

i. Para agrupar con paréntesis números enteros de dos en dos tendremos en cuenta la ayuda de la siguiente aplicación. Para sumar enteros de igual signo (positivos o negativos) se suman los valores absolutos y se conserva el signo. Para sumar o restar enteros de distinto signo se resta y se coloca el signo del número mayor. En esta escena debe calcular la suma del primer número con el segundo. Escribe el tercero.

Para interactuar con el ejercicio

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/enterosdesp/enteros1.htm

Cuando se tienen expresiones algebraicas que involucren paréntesis -(-5), para quitar dicho paréntesis se multiplican los signos según la siguiente regla.

- Al multiplicar signos iguales en una expresión algebraica par de veces siempre da positivo

- Para multiplicar signos distintos (+) * (-) o viceversa se multiplican los signos y siempre da negativo.

Continúe desarrollando los ejercicios en el siguiente enlace (escena 15 a la 22 ) para que pueda practicar y afianzar los temas.

Ejercicios: Estudiar los ejercicios de las escenas de la 15 a la 22

La suma de números enteros

En el siguiente aplicativo coloque sobre los círculos amarillos la respuesta correcta.

Resuelva estas sumas colocando los números de abajo sobre los círculos correspondientes una vez terminado el ejercicio le mostrara un mensaje que dice "CORRECTO" si el ejercicio esta bien solucionado.

Para interactuar con el ejercicio

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enteros1/suma.htm

Para repasar operaciones con números enteros visualice el video explicativo en el siguiente ítem.

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Propiedades algebraicas de R. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Propiedades algebraicas de R

En el conjunto R de los números reales hay dos operaciones binarias, detonadas por + y * que se denominan adición y multiplicación respectivamente. Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades:

(A1) a + b = b + a, para toda a, b en

(A2) (a + b ) + c = a + (b + c), para toda a, b, c en

(A3) Existe un elemento 0 en

tal que 0 + a = a y a + 0 = a, para toda a en

(A4) Para cada a en

existe un elemento - a en

tal que a + (- a) = 0 y (- a) + a = 0

(M1) a * b = b * a, para todo a, b en

(M2) (a * b) * c = a * (b * c), para toda a, b, c en

(M3) Existe un elemento 1 en

diferente de 0 tal que 1 * a = a y a * 1 = a, para todo a en

(M4) Para todo a 0 en

existe un elemento 1/a en

tal que a * (1/a) =1 y (1/a) * a =1

(D) a * (b + c) = (a * b) + (a * c) y (b + c ) * a = (b * a) + (c * a), para todo a, b, c en

Ejercicio: Frente a la definición, desplace la propiedad (círculos amarillos) y ejemplo (círculos verdes), según correspondan. Si al finalizar el ejercicio los puntos están en la posición adecuada aparecerá la palabra CORRECTO, en caso contrario se asume que esta incorrecto.
Para interactuar con el ejercicio
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/enteros1/propieda.htm

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Videos explicativos de operaciones con números reales. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Video explicativo de operaciones con números reales

El siguiente video explica cómo realizar operaciones con números enteros (reales)

Generalidades de los números reales

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GENERALIDADES RACIONALES E IRRACIONALES. Números racionales e irracionales. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

GENERALIDADES RACIONALES E IRRACIONALES

Números racionales e irracionales

Conjunto de Números racionales:

Es el conjunto que se puede expresar, como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales pues se pueden expresar como cocientes de ellos mismo por la unidad a=a/1. Este conjunto numérico se denota con

= { a/b, con a y b enteros, b

0 } son los fraccionarios y los decimales finitos e infinitos periódicos. Al igual que los demás conjuntos numéricos, este conjunto está dotado de una operación binaria.

Definición: Por operación binaria en un conjunto F se entiende una función B de números reales con domino F x F y codominio en F, a cada par ordenado (a, b) de elementos de F se tiene un único elementoB (a, b) sin embargo en vez de usar esta anotación es común utilizar a + b, a - b, a x b, etc.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. Al expresar un número racional no entero en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódica. El conjunto de números decimales se denomina por la letra "D".

Este subconjunto de números reales lo vamos a dotar de dos operaciones que se denominarán adición y multiplicación respectivamente y satisfacen las propiedades de grupo, grupo abeliano, anillo, campo y o cuerpo.

Definición 2. i. Suma: Sean a, b elementos de

, donde a = c/d, y b = e/f con c, d. e, f números enteros.

Donde cf esta denotando c x f, considera como la multiplicación usual de números enteros.

ii. Multiplicación: Sean a,b elementos de

, donde a = c/d, y b = e/f con c, d. e, f números enteros.

Donde cf esta denotando c x f, considera como la multiplicación usual de números enteros.

Número Irracionales:

Son aquellos que se escriben mediante una expresión decimal con infinitas cifras y no periódicas. Dicho conjunto lo denotamos por

. Los irracionales

= { 3,1415...,

, decimales infinitos no periódicos, etc. } no se pueden expresar como fracción.

Los primeros matemáticos en la historia que utilizaron el concepto de número irracional fue en la antigua Grecia introduciendo estudios de geometría. No utilizaron construcciones matemáticas como tal para construir un numero real a partir de un número racional o irracional. Fue hasta el siglo XIX que los matemáticos Weierstrass, Cantor, Dedekid que aplicaron los axiomas de Peano de los números positivos para construir los números reales. Dedikid principalmente construyó los números irracionales que se encuentra publicado en el texto de Fundamentos del análisis por E. Landau en 1951 en New York.

Resumen del módulo:

Números racionales e irracionales

Francisco Javier Cervigon Ruckauer