Operaciones con enteros-reales Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Operaciones con enteros-reales

Los números enteros  están formados por los positivos, los negativos y el cero (0). Forman una estructura algebraica con la suma denominada grupo abeliano (cumple las propiedades de asociativa, modulativa, invertiva, conmutativa). Los naturales y los enteros se consideran subconjuntos de los números reales. En este módulo se estudiaran las operaciones de suma y multiplicación.

Definición: El conjunto de los números enteros con la suma cumplen la estructura de grupo abeliano. Es decir cumple las siguientes propiedades:

(A1) Conmutativa: a + b = b + a para toda a, b en  

(A2) Asociativa: (a + b ) + c = a + (b + c) para toda a, b, c en 

(A3) Modulativa: Existe un elemento 0 en  tal que 0 + a = a y a + 0 = a para toda a en 

(A4) Invertiva: Para cada a en  existe un elemento - a en  tal que a + (- a) = 0 y (- a) + a = 0 

Para operar dos números enteros tendremos en cuenta la siguientes reglas

i. Para agrupar con paréntesis números enteros de dos en dos tendremos en cuenta la ayuda de la siguiente aplicación. Para sumar enteros de igual signo (positivos o negativos) se suman los valores absolutos y se conserva el signo. Para sumar o restar enteros de distinto signo se resta y se coloca el signo del número mayor. En esta escena debe calcular la suma del primer número con el segundo. Escribe el tercero.

Para interactuar con el ejercicio

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/enterosdesp/enteros1.htm

Cuando se tienen expresiones algebraicas que involucren paréntesis -(-5), para quitar dicho paréntesis se multiplican los signos según la siguiente regla.

- Al multiplicar signos iguales en una expresión algebraica par de veces siempre  da positivo

- Para multiplicar signos distintos (+) * (-) o viceversa se multiplican los signos y siempre da negativo.

Continúe desarrollando los ejercicios en el siguiente enlace (escena 15 a la 22 ) para que pueda practicar y afianzar los temas.

Ejercicios: Estudiar los ejercicios de las escenas de la 15 a la 22

La suma de números enteros

En el siguiente aplicativo coloque sobre los círculos amarillos la respuesta correcta.

Resuelva estas sumas colocando los números de abajo sobre los círculos correspondientes una vez terminado el ejercicio le mostrara un mensaje que dice "CORRECTO" si el ejercicio esta bien solucionado.

Para interactuar con el ejercicio

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enteros1/suma.htm

Para repasar operaciones con números enteros visualice el video explicativo en el siguiente ítem.

Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Propiedades algebraicas de R. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Propiedades algebraicas de R

En el conjunto R de los números reales hay dos operaciones binarias, detonadas por + y * que se denominan adición y multiplicación respectivamente. Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades:

(A1) a + b = b + a, para toda a, b en

(A2) (a + b ) + c = a + (b + c), para toda a, b, c en 

(A3) Existe un elemento 0 en  tal que 0 + a = a y a + 0 = a, para toda a en 

(A4) Para cada a en  existe un elemento - a en  tal que a + (- a) = 0 y (- a) + a = 0 

(M1) a * b = b * a, para todo a, b en 

(M2) (a * b) * c = a * (b * c), para toda a, b, c en 

(M3) Existe un elemento 1 en  diferente de 0 tal que 1 * a = a y a * 1 = a,  para todo a en 

(M4) Para todo a 0 en  existe un elemento 1/a  en  tal que a * (1/a) =1 y (1/a) * a =1

(D) a * (b + c) = (a * b) + (a * c)  y (b + c ) * a = (b * a) + (c * a),  para todo a, b, c en 

Ejercicio: Frente a la definición, desplace la propiedad (círculos amarillos) y ejemplo (círculos verdes), según correspondan. Si al finalizar el ejercicio los puntos están en la posición adecuada aparecerá la palabra CORRECTO, en caso contrario se asume que esta incorrecto.
Para interactuar con el ejercicio
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/enteros1/propieda.htm

Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Videos explicativos de operaciones con números reales. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

Video explicativo de operaciones con números reales

El siguiente video explica cómo realizar operaciones con números enteros (reales)

Generalidades de los números reales

Francisco Javier Cervigon Ruckauer

GENERALIDADES RACIONALES E IRRACIONALES. Números racionales e irracionales. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

GENERALIDADES RACIONALES E IRRACIONALES

Números racionales e irracionales

Conjunto de Números racionales:

Es el conjunto que se puede expresar, como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales pues se pueden expresar como cocientes de ellos mismo por la unidad a=a/1.  Este conjunto numérico se denota con   = { a/b, con a y b enteros, b  0 } son los fraccionarios y los decimales finitos e infinitos periódicos. Al igual que los demás conjuntos numéricos, este conjunto está dotado de una operación binaria.

Definición: Por operación binaria en un conjunto F se entiende una función B de números reales con domino F x F y codominio en F, a cada par ordenado (a, b) de elementos de F se tiene un único elementoB (a, b) sin embargo en vez de usar esta anotación es común utilizar a + b, a - b, a x b, etc.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. Al expresar un número racional no entero en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódica. El conjunto de números decimales se denomina por la letra "D".

Este subconjunto de números reales lo vamos a dotar de dos operaciones que se denominarán adición y multiplicación respectivamente y satisfacen las propiedades de grupo, grupo abeliano, anillo, campo y o cuerpo.

Definición 2. i. Suma: Sean a, b elementos de , donde a = c/d, y b = e/f con c, d. e, f números enteros.

 

Donde cf esta denotando c x f, considera como la multiplicación usual de números enteros.

ii. Multiplicación: Sean a,b elementos de , donde a = c/d, y b = e/f con c, d. e, f números enteros.

Donde cf esta denotando c x f, considera como la multiplicación usual de números enteros.

Número Irracionales:

Son aquellos que se escriben mediante una expresión decimal con infinitas cifras y no periódicas. Dicho conjunto lo denotamos por . Los irracionales  = { 3,1415..., , , decimales infinitos no periódicos, etc. } no se pueden expresar como fracción.

Los primeros matemáticos en la historia que utilizaron el concepto de número irracional fue en la antigua Grecia introduciendo estudios de geometría. No utilizaron construcciones matemáticas como tal para construir un numero real a partir de un número racional o irracional. Fue hasta el siglo XIX que los matemáticos  Weierstrass, Cantor, Dedekid que aplicaron los axiomas de Peano de los números positivos para construir los números reales. Dedikid principalmente construyó los números irracionales que se encuentra publicado en el texto de Fundamentos del análisis por E. Landau en 1951 en New York.

Resumen del módulo:

Números racionales e irracionales

Francisco Javier Cervigon Ruckauer